Teoria de Medidas de Risco: Uma Revisao Abrangente
| Autor | Marcelo Brutti Righi - Paulo Sergio Ceretta |
| Cargo | Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, RS, Brazil - Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, RS, Brazil |
Teoria de Medidas de Risco: Uma Revis˜
ao
Abrangente
(Risk Measures Theory: A Comprehensive Survey)
Marcelo Brutti Righi*
Paulo Sergio Ceretta**
Resumo
Um aspecto fundamental de uma correta gest˜ao de risco ´e a mensurac¸˜ao, espe-
cialmente a previs˜ao de medidas de risco. Inicialmente se considerava medidas
de risco, como variˆancia, volatilidade e Valor em Risco, como sendo v´alidas por
sua intuic¸˜ao pr´atica. Todavia, um s´olido arcabouc¸o te´orico se fez necess´ario para
garantir melhores propriedades para medidas de risco. Esse aporte ´e a teoria de
medidas de risco. O presente trabalho apresenta uma revis˜ao de literatura abran-
gente sobre teoria de medidas de risco, focando teoria b´asica e em extens˜oes `a essa
estrutura fundamental. A a presentac¸˜ao ´e focada nas principais classes de medidas
de risco da literatura, que s˜ao medidas de risco coerentes, medidas de risco conve-
xas, medidas de risco espectrais e de distorc¸ ˜ao e medidas de desvio generalizado.
Palavras-chave:medidas de risco; teoria de medidas de risco; gest ˜ao de risco;
classes de medidas de risco; revis˜ao de literatura.
C´
odigos JEL: G10; G19; C6.
Abstract
A fundamental aspect of proper risk management is the measurement, especially
forecasting of risk measures. Measures such as variance, volatility and Value at
Risk had been considered valid because of their practical intuition. However, a
solid theoretical framework it is important to ensure better properties for risk me-
asures. Such background is the risk measures theory. This paper presents a com-
prehensive literature review on risk measures theory, focusing in basic theory and
extensions to this fundamental outline. The paper is structured in order to cover the
main risk measures classes from literature, which are coherent risk measures, con-
Submetido em 7 de janeiro de 2015. Reformulado em 15 de janeiro de 2015. Aceito
em 20 de janeiro de 2015. Publicado on-line em 26 de maio de 2015. O artigo foi ava-
liado segundo o processo de duplo anonimato al´em de ser avaliado pelo editor. Editor
respons´avel: Marcelo Fernandes.
*Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, RS, Brazil. E-mail:
marcelobrutti@hotmail.com
**Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, RS, Brazil. E-mail:
ceretta10@gmail.com
Rev. Bras. Financ¸as (Online), Rio de Janeiro, Vol.1 2, No. 3, September 2014, pp. 411–464
ISSN 1679-0731, ISSN online 1984-5146
c
2014 Sociedade Brasileira de Financ¸as, under a Cr eativeCommons Attr ibution3.0 license -
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0
Righi, M., Ceretta, P.
vex risk measures, spectral and distortion risk measures and generalized deviation
measures.
Keywords:risk measures; risk measures theory; risk management; risk measures
classes; literature review.
1. Introduc¸˜
ao
Ap´os o trabalho marcante de Markowitz (1952), o risco de uma posic¸ ˜ao
financeira passou a ser tratado de forma mais cient´ıfica. Desse ponto se con-
cretizou o uso de medidas de variabilidade, como variˆancia, para represen-
tar o risco. Com a evoluc¸ ˜ao e integrac¸˜ao dos mercados financeiros foi con-
solidada a utilizac¸˜ao da medida de risco baseada no quantil da distribuic¸˜ao
dos resultados, conhecida como Valor em Risco (Value at risk – VaR), in-
troduzido pela empresa Riskmetrics. Trabalhos que apresentam o VaR em
detalhes incluem Duffie & Pan (1997) e Jorion (2007), por exemplo. Apesar
deste amplo uso pr´atico, havia uma falta de estudos que definissem quais
caracter´ısticas uma medida de risco desej´avel precisaria ter. Nesse sentido,
surgiu toda uma corrente na literatura que discute, prop˜oe e critica as pro-
priedades te´oricas que determinada medida de risco deve cumprir. Com
base nessa discuss˜ao te´orica, o uso indiscriminado do VaR passou a so-
frer fortes cr´ıticas. O valor esperado de perdas que superam o VaR passou
a ser defendido como medida de risco a ser utilizada. Diferentes autores
(Acerbi, 2002, Rockafellar & Uryasev, 2002, Pflug, 2000, Artzner et al.,
1999, Longin, 2001, F¨ollmer & Knispel, 2011) prop˜oem conceitos muito
semelhantes sob nomes diferentes na literatura, como Perda Esperada (Ex-
pected Shortfall – ES), Valor em Risco Condicional (Conditional Value at
Risk – CVaR), Expectativa Condicional da Cauda (Tail Conditional Expec-
tation – TCE), Valor em Risco na Cauda (Tail Value at Risk – TVaR), Pior
Expectativa Condicional (Worst Conditional Expectation – WCE), Al´em
do Valor em Risco (Beyond Value at Risk – BVaR),Valor em Risco M´edio
(Average Value at Risk – AVaR).
Assim, ´e grande a importˆancia da teoria de medidas de risco em fi-
nanc¸as, tanto de um ponto de vista acadˆemico, como pr´atico, uma vez
que definic¸˜oes te´oricas mais consistentes levam a mudanc¸as importantes
na pr´atica gerencial do risco em mercados e instituic¸˜oes. Todavia, n˜ao h´a
trabalhos que apresentem de forma extensiva essa literatura espec´ıfica. As-
sim, o presente trabalho visa expor de forma abrangente a literatura que d´a
suporte te´orico aos estudos referentes `a mensurac¸ ˜ao de risco em financ¸as,
expondo as distintas classificac¸˜oes de medidas de risco, bem como traba-
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Teoria de Medidas de Risco: Uma Revis˜ao Abrangente
lhos que discutem essas quest˜oes de ordem mais te´orica. O foco dos tra-
balhos apresentados ´e para pesquisas que apresentem contribuic¸˜ao te´orica,
especificamente classes. Estudos que focam em contribuic¸ ˜oes emp´ıricas,
como estimac¸˜ao e aplicac¸ ˜oes em outros problemas financeiros, bem como
m´etricas que n ˜ao se encaixam em nenhuma classificac¸˜ao te ´orica, foram evi-
tados devido `a limitac¸ ˜ao de contribuic¸˜ao que poderiam representar, al´em da
necessidade de se manter o escopo do trabalho. Dessa forma, o presente
trabalho contribui servindo como uma revis˜ao de literatura que pode ser vir
como um guia dentro deste t´opico de pesquisa.
Devido ao car´ater t´ecnico do trabalho, ´e necess´ario definir alguns ter-
mos. A menos que seja explicitado de modo diferente, o conte´udo se baseia
na seguinte notac¸˜ao. Considere um mercado de per´ıodo ´unico, o que sig-
nifica que existe a data atual 0 e uma data futura T. Nenhuma transac¸ ˜ao
´e poss´ıvel entre 0 e T. Considere o resultado aleat´orio Xde algum ativo
ou portf´olio, definido em um espac¸o de probabilidade (Ω, F, P) sem ´atomos
(atomless), onde Ω´e o espac¸o amostral, F´e o conjunto de eventos poss´ıveis
em Ω, e P´e uma medida de probabilidade definida em Ωdos eventos con-
tidos em F. Dessa forma, EP[X]´e o valor esperado de Xsob P. Ainda,
P={Q|Q≤P}´e um conjunto n˜ao vazio, pois P∈ P , que representa me-
didas de probabilidade Qdefinidas em Ωque s˜ao absolutamente cont´ınuas
em relac¸˜ao a P. Nesse sentido, dQ
dP´e a densidade de Qrelativa a P, conhe-
cida como derivada de Radon-Nikodym. Todas as igualdades e desigual-
dades s˜ao consideradas como quase certas em P, ou Pa.s. (almost surely
– quase certamente). Tem-se que FX´e a func¸˜ao de probabilidade de Xe
F−1
Xsua inversa. Como (Ω,F,P) n˜ao tem ´atomos, ´e poss´ıvel assumir FX
como sendo cont´ınua, e ´e esta suposic¸ ˜ao que ´e feita ao longo do trabalho.
Seja Lp=Lp(Ω, F, P)o espac¸o de vari´aveis aleat´orias do qual X´e um
elemento, com 1≤p≤ ∞, definido pela norma ||X||p= (EP[|X|p])1/p
com pfinito, e ||X||p= inf {k:|X| ≤ k}para pinfinito. X∈Lpsig-
nifica que ||X||p<∞, ou seja, o m´odulo de X`a potˆencia p´e limitado
e integr´avel. Nesse contexto, medir risco ´e equivalente a estabelecer uma
func¸˜ao ρ:Lp→R, ou seja resumir em um n ´umero o risco da posic¸ ˜ao X.
A divis˜ao feita aqui visa contemplar as principais classes de medidas
de risco presentes na literatura. Assim, o restante do presente trabalho ´e
subdividido em: i) Medidas de risco coerentes; ii) Medidas de risco conve-
xas; iii) Medidas de risco espectrais e de distorc¸ ˜ao; iv) Medidas de desvio
generalizado e v) Outras classes de medidas de risco. Para cada classe, o
foco ´e na teoria b ´asica e em extens˜oes `a essa estrutura fundamental.
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