Index tracking with control on the number of assets/Index tracking com controle do numero de ativos.
| Autor | Sant'Anna, Leonardo Riegel |
| Cargo | Articulo en portugues |
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Introducao
O inicio da Teoria Moderna de Portfolio ocorreu com Markowitz (1952), que propos um modelo de media-variancia para selecao de carteira. Nesse modelo, a variancia dos retornos dos ativos e usada como medida de risco, e e feita a otimizacao do trade-off entre risco e retorno esperado. Com base na literatura de investimentos, verificamos que ha basicamente dois tipos de fundos de investimentos: fundos de administracao ativa e de administracao passiva (Roll, 1992, Beasley et al., 2003, Maringer & Oyewumi, 2007).
Fundos de administracao ativa possuem, em geral, gestao mais flexivel e maior quantidade de transacoes de compra e venda. Assim, tendem a apresentar custos maiores de gestao e de transacoes (pois tem maior volume de operacoes). Estrategias ativas assumem que os mercados sao ineficientes e tentam explorar desequilibrios resultantes desse fator.
Por outro lado, fundos de administracao passiva tem gestao menos flexivel e comumente seguem criterios previamente definidos, apresentando menores custos de gestao e de transacoes por ter menor volume de transacoes. Essa estrategia baseia-se na hipotese de que ha eficiencia nos mercados e que, no longo prazo, os rendimentos dos mercados nao tendem a ser superados por fundos ativos, tendo como fundamento a teoria de mercados eficientes (Fama, 1970); por consequencia, rendimentos de indices de referencia dos mercados tambem nao tendem a ser superados. Frino & Gallagher (2001), por exemplo, demonstram que investimentos em estrategias passivas apresentam, em media, desempenho superior do que investimen tos em estrategias ativas no longo prazo. Fama & French (2010) sao outro exemplo de estudo que demonstra que fundos ativos tem tendencia a apresentar rendimento abaixo do rendimento do mercado.
Fundos de index tracking (index funds, ou tambem fundos de indice) sao uma forma de investimento passivo que visa replicar o rendimento de um indice de referencia (por exemplo: Ibovespa). Atraves de Frino & Gallagher (2001) e Fama & French (2010), podemos entender a relevancia de fundos passivos e da estrategia de index tracking, como forma de acompanhar o rendimento do mercado com custos reduzidos e desempenho que tende a ser superior a fundos ativos. O uso de index tracking pode ser feito, por exemplo, para formacao de fundos de indices ou, tambem, para formacao de ETFs (do ingles, Exchange-Traded Funds)--ativos que representam fundos de indice e que tem se popularizado no mercado brasileiro nos ultimos anos (Borges et al , 2012).
A primeira opcao para se montar um index fund seria realizar uma replica total do indice (compor um portfolio com os ativos que formam o indice e seus respectivos pesos). Porem, essa estrategia apresenta desvantagens como a atribuicao de peso bastante baixo a alguns ativos e maiores custos de transacao na medida em que a carteira e atualizada ao longo do tempo (Barro & Canestrelli, 2009, Canakgoz & Beasley, 2009).
Assim, os modelos de index tracking apresentam, entre outras restricoes, a limitacao da quantidade de ativos para compor a carteira, de forma a diminuir a quantidade de transacoes do portfolio e reduzir custos de transacao e gestao. Neste estudo, buscamos apresentar um modelo de index tracking com otimizacao de programacao quadratica inteira, similar ao proposto por Gaivoronski et al (2005), de forma a replicar um indice com controle do numero de ativos da carteira. O uso de Gaivoronski et al (2005) como referencia justifica-se por esse artigo ser um trabalho amplamente referenciado na literatura, com a apresentacao de modelos com diferentes abordagens relacionadas ao tema, por exemplo, discutindo custos de transacao e de rebalanceamento.
Conforme destacam Barro & Canestrelli (2009), com limitacao da quantidade de ativos, dificilmente teremos a reproducao exata do indice; portanto, o modelo de otimizacao visa minimizar o erro (diferenca) de tracking da carteira em relacao ao indice (minimizacao do tracking error), ou seja, minimizar a diferencca entre rendimento da carteira e rendimento do indice. Assim, o foco e minimizar o erro de tracking com resfrio da quantidade de ativos do portfolio, o que representa uma limitacao de custos de transacao e gestao. Nesse estudo, adotamos o erro de tracking de cada carteira otimizada como sendo a diferencca entre o rendimento acumulado da carteira e o rendimento acumulado do indice no intervalo de tempo fora da amostra.
Trabalhos academicos recentes sobre o assunto buscam, em sua maioria, solucionar o problema de index tracking com uso de heuristicas para formacao de carteiras com quantidade bastante reduzida de ativos; nosso objetivo e verificar que mesmo carteiras com quantidade um pouco maior de ativos podem realizar satisfatoriamente o tracking do indice mantendo custos baixos (verificados atraves dos valores de turnover). Pretende-se demonstrar que, mesmo com uma tecnica simples de solucao, apoiada a um leve relaxamento no controle do numero de ativos, pode-se obter uma abordagem eficiente de index tracking com controle de ativos sem o uso de tecnicas numericas mais complexas ou de heuristicas de dificil implementacao e parametrizacao.
Para aplicacao do modelo, adotamos o indice Ibovespa (indice de referencia do mercado brasileiro), para o periodo de Janeiro/2009 a Julho/2012, com um total de 890 observacoes diarias. Foram realizados testes para formar quatro tipos de carteiras: sem limite de quantidade de ativos e com limites de 40, 30 e 20 ativos. Os periodos de rebalanceamento adotados sao 20, 40 e 60 observacoes diarias (ou seja, rebalanceamento mensal, bimestral e trimestral).
Pelos testes realizados, constatou-se a eficiencia dessa estrategia especialmente em termos de custos. Contudo, na medida em que reduzimos a quantidade de ativos da carteira, os tempos de solucao crescem de forma exponencial, de modo que nao conseguimos formar carteiras com menos de 20 ativos. Porem, para carteiras de 20 ou mais ativos (especialmente para rebalanceamento trimestral), temos solucoes satisfatorias em termos de custo (com baixos valores de turnover medios mensais), tempos de solucao e estatisticas que apontam forte correlacao das carteiras formadas com o indice.
Para realizacao dos testes, utilizamos o solver de otimizacao Cplex(que consiste em um software de otimizacao usado para solucao de problemas numericos de pesquisa operacional), por ser um dos solvers mais utilizados comercialmente. Com a realizacao de testes complementares, constatamos que alteracoes de parametros de configuracao do Cplex nao influenciaram os resultados obtidos para esse modelo de otimizacao. Nestes testes, obtivemos variacoes bastante pequenas nos resultados, especialmente nos tempos de solucao, o que demonstra a robustez do metodo aplicado.
O artigo esta organizado da seguinte forma: a secao 2 destaca uma revisao bibliografica sobre o problema de index tracking, apresentando diversos metodos de solucao tratados na literatura; a secao 3 apresenta o modelo adotado nesse estudo; a secao 4 apresenta os resultados obtidos; e a secao 5 apresenta as principais conclusoes.
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Revisao da Literatura
O problema de index tracking e representadona literatura contemporanea com modelos que empregam diferentes metodos de solucao. Analisando-se alguns desses artigos recentes, podemos agrupa-los por metodos de solucao similares como, por exemplo, uso de metodos heuristicos (Beasley et al., 2003, Oh et al., 2005, Maringer & Oyewumi, 2007, Jeurissen & Van Den Berg, 2008, Krink et al., 2009, Guastaroba & Speranza, 2012, Scozzari et al., 2012), uso de cointegracao (Dunis & Ho, 2005, Caldeira & Portugal, 2010) e uso de programacao quadratica (Jansen & Van Dijk, 2002, Coleman et al., 2006, Yao et al., 2006).
Gaivoronski et al. (2005) discutem diferentes abordagens do problema de index tracking, realizando otimizacao apenas usando um solver e, tambem, aplicando metodos heuristicos.
Esses autores usam restricoes relativas a analise de risco do portfolio, rebalanceamento das carteiras (portfolios dinamicos) e restricao de custos de transacao. Entre as principais conclusoes, e verificado que o erro de tracking tende a ser melhor com uso de amostras maiores para a otimizacao (maiores amostras in-sample); alem disso, o desempenho das carteiras tambem e influenciado pela quantidade de ativos da carteira e pela forma de realizacao de rebalanceamentos. Por ser um dos estudos mais referenciados na literatura de index tracking, optamos por adotar esse artigo como referencia para elaboracao de nosso modelo de otimizacao.
Outro tipo de abordagem do problema de index tracking envolve uso de cointegracao (Dunis & Ho, 2005, Caldeira & Portugal, 2010). Dunis & Ho (2005) utilizam esse metodo com a justificativa de que ele incorpora "comovimentos" de longo prazo nos precos dos ativos; dessa forma, ha a tendencia de formacao de carteiras mais estaveis, exigindo menos operacoes de rebalanceamento e diminuindo os custos de transacao. Os autores realizaram testes para diferentes intervalos de rebalanceamento, obtendo melhores resultados para rebalanceamento trimestral, com forte cointegracao entre carteiras e indice. Caldeira & Portugal (2010) tambem utilizam cointegracao como forma de se obter carteiras mais estaveis, pois, conforme os autores, esse metodo permite a percepcao de tendencias estocasticas nas series de precos das acoes, exigindo menos rebalanceamentos.
Jansen & Van Dijk (2002), Coleman et al. (2006) fazem uso direto de programacao quadratica para index tracking com reduzido numero de ativos, porem sem uso de restricao inteira para controlar o tamanho das carteiras. Como os autores afirmam, esse problema possui complexidade computacional NP-Hard, o que significa que o tempo de processamento e elevado para formacao de carteiras reduzidas. Como solucao, sao formadas carteiras reduzidas com um metodo que consiste na realizacao de diversas otimizacoes em sequencia, com diminuicao gradual da amostra de ativos. Assim, os autores eliminam a...
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