Estimativas de longo prazo para volatilidade de series temporais no mercado financeiro brasileiro.
| Autor | Monteiro de Moraes, Alex Sandro |
| Cargo | Artículo en portugués |
Long Run Estimations for the Volatility of Time Series in the Brazilian Financial Market
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Introdução
Medidas de Valor em Risco (VaR) para longo prazo bem como modelos de aprecamento de opções demandam estimativas de volatilidade para horizontes de tempo que superam a frequência das observações dos dados.
Este artigo discute os problemas que surgem quando os modelos de séries temporais do tipo GARCH, tais como GARCH, EGARCH e threshold GARCH (TGARCH), propostos por Bollerslev (1986) e Taylor (1986), Nelson (1991) e Zakoian (1994), respectivamente, estimados com dados diários ou de alta frequência são usados para prever volatilidade para horizontes com prazos mais longos, comuns aos modelos de aprecamento de opções e às medidas de longo prazo de Valores em Risco (VaR).
Enquanto os modelos tipo GARCH geram previsões de volatilidade para o próximo período ou observação (normalmente para o dia seguinte), os modelos de aprecamento de opções e as medidas de VaR geralmente demandam previsões de volatilidade para prazos mais longos, os quais podem ser semanais, mensais ou mesmo anuais.
Essas previsões de volatilidade, tipicamente, são obtidas por sucessivas substituições futuras, de forma que a previsão de volatilidade para o período t + 1 é usada juntamente com o modelo de previsão para prever a volatilidade do período t + 2, esta previsão do período t + 2 c usada para prever a volatilidade do período t + 3, e assim sucessivamente. Essas volatilidades são entao combinadas para obter a previsão da "volatilidade integrada" para o intervalo compreendido entre o período t + 1 e o período t+N. Muitos modelos de previsão de volatilidade encontrados na literatura de econometria estao focados em prever a volatilidade em t + 1. Tal fato é observado por Christoffersen & Diebold (2000), os quais asseveram que "muito pouco ainda é conhecido acerca da previsibilidade da volatilidade para períodos de longo prazo".
Ederington & Guan (2010) esclarecem que o problema dos modelos de previsão de volatilidade de séries temporais para horizontes de tempo maiores que um período é que a previsão de volatilidade para o dia (ou período) t + 1 é usada para pever a volatilidade para qualquer data futura t + [kappa]. A importância relativa da volatilidade observada hoje (t) comparada à volatilidade do dia anterior (t - 1) ou da semana anterior (t - 5) é forcada a ser a mesma independente de a previsão de volatilidade ser realizada para amanha, para a próxima semana, ou para o próximo mês.
Uma maneira de evitar esse problema seria adequar a frequência dos dados ao horizonte de previsão. Por exemplo, se o objetivo for prever a volatilidade para o próximo mês, utilizar-se-ia dados mensais para estimar o modelo GARCH e, entao, prever a volatilidade para o mês t + 1.
Todavia, se o horizonte de previsão for longo, o número de observações é significativamente reduzido e, conforme sugerido por Figlewski (1997), a convergência geralmente requer a existencia de séries temporais longas.
Ademais, Andersen & Bollerslev (1997) apontam que, ao utilizar-se substituições sucessivas, previsões de volatilidade mais precisas são obtidas com dados de mais alta frequência.
Este trabalho evidencia para dados do mercado financeiro brasileiro, da mesma forma que Ederington & Guan (2010) fizeram para o mercado financeiro norte-americano, que para os modelos GARCH, EGARCH e TGARCH os parâmetros que melhor estimam a volatilidade para o dia seguinte não são os melhores para estimar a volatilidade para períodos de tempo mais longos. Na verdade, observações mais antigas são relativamente mais importantes em prever volatilidades de mais longo prazo.
Um modelo em que a importância relativa entre observações recentes e antigas varia em função do horizonte de previsão é o modelo dos Mínimos Quadrados Restritos Absolutos (ARLS) proposto por Ederington & Guan (2005). Neste modelo a importância relativa das observações mais antigas aumenta em função do horizonte de previsão.
Neste artigo comparou-se a capacidade de previsão fora da amostra (out-of-sample) dos modelos GARCH, EGARCH, TGARCH, modificações de cada um desses tres modelos baseadas em regressão--na qual o valor do parâmetro GARCH varia com o horizonte de previsão--, e o modelo ARLS.
Dentre esses sete modelos, o modelo ARLS e o modelo EGARCH modificado obtiveram os melhores resultados em suas previsões de volatilidade para diversos mercados, considerando-se diferentes horizontesde tempo. Na maioria dos casos observados esses modelos apresentaram os menores valores para a raiz quadrada da média dos quadrados dos erros (RMSE), bem como para a média dos erros absolutos (MAE).
Os dados utilizados foram os retornos diários do IBOVESPA, Petrobrás, Vale, taxa de cambio Real/Dólar,taxas de juros de um ano e taxas de juros de tres anos para o mercado brasileirode agosto/1994 a junho/2012. As previsões de volatilidade foram examinadas para os horizontes temporais de 10, 20, 40 e 80 dias úteis.
Este trabalho está organizado da seguinte forma: a próxima Seção discute o fato de como a relação entre os pesos atrelados às observações recentes e antigas, na previsão de volatilidade, depende do horizonte de previsão nos modelos GARCH, TGARCH e EGARCH. Na Seção 3, são apresentados os dados, bem como a metodologia utilizada para a estimação dos parâmetros dos modelos. Além disso, foram apresentadas duas medidas de precisão de modelos de previsão para observações fora da amostra (oiit-ofsample). Na Seção 4, os resultados são evidenciados e analisados. A Seção 5 conclui o artigo.
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O Horizonte de Previsão e a Importância Relativa das Observações Passadas nos Modelos da família GARCH
2.1 Estimativas de volatilidade para horizontes de tempo maiores que um período
Apesar de haver na literatura alguns modelos que não exigem estimativas de volatilidade para prazos mais longos como, por exemplo, o modelo CAViaR proposto por Engle & Manganelli (2004), em que os autores modelam diretamente a dinamica temporal de um determinado quantilda distribuição condicional; Figlewski (1997) e Christoffersen & Diebold (2000) apontam que muitas das aplicações para as previsões de volatilidade, tais como aprecamento de opções e modelos de VaR de longo prazo demandam estimativas de volatilidade para um horizonte de tempo maior que a frequência de observação dos dados utilizados para a estimação do modelo. Geralmente, modelos de séries temporais e dados de retornos diários são usados para prever a volatilidade para o dia t + 1, todavia para o aprecamento de opções, por exemplo, exige-se uma estimativa de volatilidade em con formidade com o prazo de vencimento dessas opções, o que pode ocorrer meses à frente.
Às vezes, assume-se simplesmente que a volatilidade do dia t + 1 permanecerá constante até o vencimento da opção. Isso ignora a tendencia de reversão à média da volatilidade e, como mostram Christoffersen et al. (1998), resulta em sérios erros de estimativa.
Normalmente, a previsão de volatilidade para períodos mais longos é realizada por meio de um procedimento recursivo no qual a volatilidade para o dia t + 1 é usada juntamente com os parâmetros do modelo para prever a volatilidade para o dia t + 2, a previsão do dia t + 2 é usada para prever a volatilidade para o dia t + 3 e assim por diante. Essas previsões diárias são combinadas para se obter a volatilidade do período t + 1 a t + N, uma medida chamada de "volatilidade integrada" por Andersen et al. (2006).
Como ilustração, considere o modelo:
[v.sub.t+1] = [[alfa].sub.0] + [[alfa].sub.1][r.sup.2.sub.t] + [beta][v.sub.t] (1)
onde [r.sub.t] é o choque do retomo logarítmico ([r.sub.t] = [R.sub.t] - [E.sub.t- 1]([R.sub.t]), onde [R.sub.t] = ln([P.sub.t]/[P.sub.t-1]) e [P.sub.t] é o preco do ativo no tempo t) e vt é a variancia de [r.sub.t]. No que tange ao vetor de parâmetros [theta]([[alfa].sub.0],[[alfa].sub.1],[beta]), define-se [[alfa].sub.o] [mayor que o igual a] 0,[beta] [mayor que o igual a] 0.
Como [E.sub.t]([r.sup.2.sub.t+1]) = [v.sub.t+1], onde Et(.) é o valor esperado no tempo t, sucessivas substituições resultam na expressão da variancia esperada no tempo t + [kappa] baseada na previsão para t + 1:
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] (2)
Nota-se que [v.sub.t+1] e [v.sub.t+[kappa]], são estimativas pontuais da volatilidade, entretanto para o aprecamento de opções e mensuração do VaR de longo prazo é preciso usar um intervalo de tempo superior a um dia. Assim, para se gerar essas previsões, Ederington & Guan (2010) assumem que normalmente os choques dos retornos são independentes. Desse modo, a previsão de variancia integrada para o intervalo será obtida pela média das previsões diárias de variancia.
Assim, somando-se os valores da equação (2) para [kappa] = 1 até s e dividindo-se o resultado por s, obtém-se a previsão da volatilidade integrada [V.sub.t+s]:
[EXPRESIÓN MATEMÁTICA IRREPRODUCIBLE EN ASCII.] (3)
2.2 A Importância Relativa das Observações Passadas nos Modelos da Família GARCH
Modelo GARCH
De acordo com Ederington & Guan (2010), a importância relativa entre as observações recentes e antigas, na previsão da volatilidade, depende do horizonte de previsão.
Supoe-se, por exemplo, que, em uma quarta-feira, deseje-se realizar uma previsão de volatilidade para o dia seguinte (quinta-feira), para a semana seguinte e para o mês seguinte. De acordo com a persistencia de volatilidade, a volatilidade da quarta-feira seria muito mais importante na previsão da volatilidade do dia seguinte do que a volatilidade de terca-feira, por exemplo. Mas será que a volatilidade de quarta-feira é tao mais importante que a volatilidade do dia anterior (terca-feira) para se fazer previsões de volatilidade para daqui a uma semana ou daqui a um mês?
O procedimento de utilização de sucessivas substituições para a...
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