Backtesting for the Expected Shortfall of the Trading Book: An Assessment of Methodologies/ Backtesting para o Expected Shortfall do Trading Book: Uma Avaliacao das Metodologias.
| Autor | Castro, Leonardo Nascimento |
Codigos JEL: C52, D81, G32.
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Introducao
Apos a Crise de 2008, o Comite de Basileia acelerou o processo para atualizacao do Acordo e identificou algumas falhas como, por exemplo, a incapacidade do VaR em captar o risco de cauda. Posteriormente, recomendou-se substituir o VaR, uma medida nao coerente de risco devido a ausencia de subaditividade, pelo CVaR. O trabalho de Gneiting (2011) mostrou a ausencia da elicitabilidade para o CVaR e isso induziu algumas pessoas a pensarem ser impossivel realizar um backtesting para esta medida de risco.
A elicitabilidade e uma propriedade matematica importante para a selecao de modelo (em escala relativa) e nao para a validacao (em escala absoluta). Apesar de a elicitabilidade ter outra finalidade, a convexidade de sua funcao scoring e necessaria para o backtesting.
Para entender melhor sobre o backtesting, torna-se necessario tambem um conhecimento sobre a identificabilidade e testabilidade, que possuem uma relacao com a elicitabilidade. De fato, o CVaR nao e elicitavel e, portanto, nao-testavel, porem e condicionalmente elicitavel, um conceito util para previsaao de algumas medidas de risco que nao sejam elicitaveis.
Alem de alguns conceitos citados nesta secao, tambem torna-se necessario conhecer os termos nitidez e ridge backtest. Uma funcao e: nitida se for estritamente crescente e decrescente em relacao as variaveis preditiva e realizada, respectivamente, isto e, melhora no resultado se aumentar o CVaR ou reduzir a perda; e atende o requisito de ridge backtest se depender o minimo possivel da medida de risco auxiliar VaR uma vez que o foco na regulacao bancaria para o requerimento de capital minimo e o CVaR.
O objetivo desta pesquisa e verificar as possibilidades de submeter o CVaR ao teste de aderencia nas carteiras brasileiras atendendo a necessidade do Comite de Basileia em relacao ao numero de excecoes--perdas que ultrapassam a estimativa do VaR para o dia em analise--e magnitude das perdas e permitir que o CVaR seja utilizado para calcular o requerimento de capital no Trading Book. Este artigo realiza simulacaes em varias situacoes possiveis para avaliar e analisar os quatro backtesting do CVaR: [Z.sub.1] e [Z.sub.2s] de Acerbi and Szekely (2014), [Z.sub.2c] de Acerbi and Szekely (2017) e a Aproximacao dos Niveis de VaR ([E.sup.p]).
Este artigo e composto por cinco secoes incluindo Introducao e Considerares Finais. Nas secoes 2 e 3 constam as teorias da Elicitabilidade, Identificabilidade e Testabilidade e Backtesting, respectivamente. A secao 4 dedica-se a avaliacao e analise dos resultados nas simulacoes.
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Elicitabilidade, Identificabilidade e Testabilidade
2.1 Elicitabilidade
Artzner et al. (1999) sugeriram o uso do CVaR para resolver os problemas de coerencia que o VaR apresentava no modelo de percentil (SH): perda alem do nivel de VaR desconsiderada e ausencia de subaditividade. Entretanto, havia uma desvantagem que impedia a transicao completa do VaR para o CVaR. A ausencia de um back-testing convincente era o ultimo obstaculo no caminho do CVaR ao Comite de Basileia Acerbi and Szekely (2014).
Enquanto isso, Gneiting (2011) contribuiu com o debate academico mostrando que esta medida nao e elicitavel. Esta descoberta difundiu a crenca Chavez-Demoulin et al. (2016) de que o CVaR nao poderia ser submetido ao teste de aderencia e despertou uma serie de criticas a decisao do Comite de adota-lo no lugar do VaR.
A elicitabilidade e a propriedade de previsoes serem avaliadas e classificadas. Em geral, uma medida de risco invariante a lei pega uma distribuicao probabilistica e transforma-a em uma previsao pontual de valor unico Wimmerstedt (2015).
Uma estatistica preditiva i de uma variuvel aleatoria X e elicitavel se ela minimiza o valor esperado de uma funcao scoring S Acerbi and Szekely (2014).
[mathematical expression not reproducible] (1)
Dada uma histaria de previsoes pontuais mt para as estatisticas e realizacoes xt da variavel aleataria, a maneira de avaliar o modelo de previsao requer que o scoring medio
[bar.S] = 1/T [T.summation over (t=1)] S([m.sub.t], [x.sub.t]) (2)
seja o mais baixo possivel. A media e a mediana representam exemplos populares minimizando a media quadratica S(m, X) = [(m-X).sup.2] e o erro absoluto S(m,X) = [absolute value of (m-X)], respectivamente. O [alpha]-quantil, e portanto o VaR, tambem e elicitavel com uma funcao .scoring S(m,X) = (1 [m.sub.[greater than or equal to]] x - [alpha])(m - X). Ja o [tau]-expectil e elicitavel sob a funcao S(m,X) = |1 [m.sub.[greater than or equal to]] X - [tau]|[(m - X).sup.2].
Um exemplo da elicitabilidade para media:
[mathematical expression not reproducible] (3)
Para provar (3), minimiza-se o valor esperado da media quadratica derivando em relacao a m em primeira ordem e igualando a zero.
dE[[(m - X).sup.2]]/dm = 2m - 2E[X] = 0 [??] m * = E[X]
Entretanto, existem algumas medidas que nao sao elicitaveis como a moda e a variancia. Lambert et al. (2008) e Frongillo and Kash (2015) afirmam que esta por si so nao e elicitavel - devido a ausencia de conjuntos de niveis convexos, uma condicao necessaria para a elicitabilidade. Entretanto, ela e considerada como 2-elicitavel atraves das duas medias.
[mathematical expression not reproducible]
Ou de uma media dentro de outra.
[mathematical expression not reproducible]
Alguns termos encontrados na literatura para elicitabilidade de variancia sao 2-elicituvel Gneiting (2011), condicionalmente elicitavel ou elicitavel de segunda ordem Emmer et al. (2015), par (media e variancia, por exemplo) elicitavel e conjuntamente elicitavel Fissler and Ziegel (2016).
Esta propriedade matematica tem importancia porque permite comparacoes relativas de diferentes modelos que preveem uma estatistica na mesma sequencia exata de eventos e, atraves do scoring medio, determinar o melhor. Assim, se houver um unico modelo, a funcao scoring nao consegue passar uma informacao sobre a qualidade de suas previsaoes.
Vale ressaltar que a elicitabilidade nao significa exatamente o backtesting direcional - em escala absoluta, validaccaao do modelo que mostra se este subestima ou superestima a estatistica -, mas somente se trata da seleccaao de modelo - em escala relativa. Ainda assim, para que uma estatistica possa ser testavel, e necessoria que ela seja elicitavel.
2.1.1 Elicitabilidade do VaR
A medida de risco VaRa(X) pelo metodo de Simulacao Historica (Quantil) e elicitavel atraves da funcao scoring
S(m,X) = ([1.sub.m[greater than or equal to] X - [alpha])(m - X). (5)
De acordo com (1), isso e verdadeiro se
[mathematical expression not reproducible] (6)
O valor esperado E de (6) pode ser reescrito como
[integral]([l.sub.m[greater than or equal to] x] - [alpha])(m - x)fx(X)dX = (7)
(1 - [alpha]) [[integral].sup.m.sub.-[infinity]] (m - x)fx(X)dX - [alpha] [[integral].sup.[infinity].sub.m] (m - x)fx(X)dX
Wimmerstedt (2015) derivou (7) em primeira ordem pela regra de Leibnitz e igualou a zero encontrando o resultado otimo m *. d/dm E [S(m, X)] = (m, X)] = (1 - [alpha]) [[integral].sup.m.sub.-[infinity]] fX (X)dX - [alpha] [[integral].sup.[infinity].sub.m]] fx fx (X)dX =
[[integral].sup.m].sub.[infinity]] fx dX - [alpha] = 0
[[integral].sup.m].sub.-[infinity]] fx (X) dX = [alpha] [??] m* = [F.sup.-1.sub.X] ([alpha]) onde [F.sup.-1.sub.X] ([alpha]) = Va[R.sub.[alpha]](X) e prova-se que esta medida e elicitavel atraves de sua funcao .scoring (5).
Para a medida de risco Va[R.sub.[alpha]] (X) pelo metodo de Delta-Normal, e utilizada a elicitabilidade das duas medias na variancia conforme (4).
2.1.2 Elicitabilidade do CVaR
Osband (2011) e Gneiting (2011) afirmam que o CVaR nao e elicitavel, apesar de o VaR o ser. Este autor provou a ausencia de conjuntos de niveis convexos, que e uma condicao necessaria para a elicitabilidade de uma medida de risco. Entretanto, Emmer et al. (2015) mostram que o CVaR e condicionalmente elicitavel, um conceito util para previsao de algumas medidas de risco que nao sejam elicitaveis.
A elicitabilidade condicional do CVaR divide o metodo de previsao em dois passos: 1) prever [[??].sub.[alpha]](X), que e elicitavel da mesma forma em (6) e tornar este resultado como fixo (c); e 2) entao, prever CVa[R.sub.[alpha]](X), que e elicitavel com funcao scoring estritamente consistente
S(m, X) = ([phi](X) - [phi]) (m)(m - [phi]' (m) (m - X)) x [phi] 1 [[X.sub.
onde [phi] (m) = [m.sup.2]/1 + [absolute value of m].
De uma forma mais simples no segundo passo, o CVa[R.sub.[alpha]] (X) pode ser previsto pela elicitabilidade da media condicional:
[mathematical expression not reproducible]
onde [m.sub.1] preve o [[??].sub.[alpha]] (X), que e o VaR. Assim, o CVaR, apesar de nao ser elicitavel, e considerado como 2-elicitavel.
2.2 Identificabilidade
Segundo Acerbi and Szekely (2017), uma estatistica [psi] e identificavel se tiver uma funcao I(m, X) tal que
E [I (m, X)] = 0 quando m = [psi] (X)
A media e a mediana sao identificaveis pelas funcoes I (m, X) = m - X e I(m, X) = 1/2 - (X - m
Sob certas condicoes de regularidade, existe uma relacao entre elicitabilidade e identificabilidade Fissler and Ziegel (2016):
S(m, x) = [[integral].sup.m] I (t, x)dt
cujo valor esperado E[S(m, X)] tem um minimo global em m.
2.2.1 Identificabilidade do VaR
O [alpha]-quantil, e portanto o VaR, e identificivel com uma funcao I(m, X) = [alpha] - (X - m
Para a medida de risco VaRa(X) pelo metodo de Delta-Normal, utiliza-se a variancia que e 2-identificavel atraves das duas medias.
V(X) = E([X.sup.2]) -[E.sup.2](X) = [m.sub.1] - [m.sup.2.sub.2]
onde E ([m.sub.1] - [X.sup.2]) = 0 e E ([m.sub.2] - X) = 0.
Ou de uma media dentro de outra:
V(X) = E {[[X - E(X)].sup.2]} = [m.sub.2]
onde E [[m.sub.2] - [(X - [m.sub.1]).sup.2]] = 0 e E ([m.sub.1] - X) = 0.
2.2.2 Identificabilidade do CVaR
O CVaR, assim como na elicitabilidade, tambem e condicionalmente identificavel pela media condicional dos retornos piores que o VaR:
I([m.sub.1], [m.sub.2], X) = (X + [m.sub.1]
onde [m.sub.1] preve o...
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